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Rédiger… ni trop, ni pas assez

La rédaction est une partie importante de la résolution des problèmes. Elle doit contenir toutes les informations nécessaires pour justifier le calcul. Cependant, il ne faut pas non plus en faire trop !

Identifier la quantité d’informations à fournir peut être parfois délicat : cela dépend du contexte de l’exercice, des questions précédentes, des attendus du correcteur, etc.

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Arithmétique de la carte vitale

Le numéro INSEE (numéro de sécurité sociale) permet d’identifier une personne, et figure notamment sur la carte vitale. Il est composé de 13 chiffres suivis d’un nombre de 2 chiffres appelé la « clé ».

Pour détecter une erreur de saisie, on effectue l’algorithme suivant :

  • on fait la somme entre les 13 premiers chiffres et la clé
  • on effectue la division euclidienne de cette somme par le nombre 97
    • si le reste est égal à 0, alors il n’y a, a priori, pas de faute de frappe
    • si le reste est différent de 0, alors il y a une erreur dans la saisie.

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Cônes et coniques

Les sections de cône forment les coniques : ellipses, hyperboles, paraboles. De merveilleuses courbes ! Je vous conseille l’excellente vidéo de la chaine Thomaths à ce sujet (un peu dure pour les collégiens mais idéale si vous avez besoin de vous réconcilier avec les coniques).

En fin de chapitre sur les cônes, je descends les rideaux et allume une lampe de poche (= cône de lumière) avec laquelle j’éclaire le tableau :

  • orthogonale au tableau, la lampe trace un cercle
  • légèrement inclinée, elle forme une ellipse
  • davantage inclinée, le bord du cône de lumière sortant du tableau, on observe une parabole
  • parallèle au tableau, c’est l’hyperbole que l’on voit

J’enchaine ensuite avec le nom des solides engendrés par la révolution des coniques :

  • Tore : la forme des chambres à air, des bagels, …
  • L’ellipsoïde : approximativement un ballon de rugby ou un zeppelin
  • La paraboloïde : celle des antennes dites paraboliques
  • Les hyperboloïdes : souvent utilisées en architecture

Remarque : il y a des blancs sous les courbes puis sous les solides pour que les élèves écrivent : « cercle – ellipse – parabole – hyperbole » puis « tore – ellipsoïde – paraboloïde – hyperboloïde »

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coniques

Quelques paradoxes célèbres

Voici une liste de paradoxes mathématiques accessibles en 4e ou 3e. 

Pour un exposé à l’oral, je recommanderais de choisir entre trois et cinq paradoxes de cette liste à présenter. 

Cet article est une description rapide : il est évident qu’il faut faire des recherches supplémentaires sur les sujets choisis. 

Un paradoxe mathématiques n’est pas « quelque chose de contradictoire », comme on peut le définir dans la vie courante. C’est souvent un résultat qui est vrai mais étonnant car contraire à notre intuition naturelle. 

1. Le paradoxe de Zénon : Achille et la tortue

Achille donne une avance à une tortue dans une course. Chaque fois qu’il atteint la position où se trouvait la tortue, celle-ci avance un peu. Achille semble ne jamais pouvoir rattraper la tortue, mais en réalité, il le fait au bout d’un temps fini !

2. Le paradoxe de Lewis Caroll

Un paradoxe géométrique dans lequel un carré disparaît en réageançant 4 figures. 

3. Le paradoxe du menteur

“Cette phrase est fausse.” Si elle est vraie, alors elle est fausse, mais si elle est fausse, alors elle est vraie !

4. Le paradoxe de la corde

Si on enroule une corde autour de la Terre (40 000 km) et qu’on ajoute juste 1 mètre de longueur, il y aurait assez de “jeu” pour qu’on puisse lever la corde de 16 cm partout autour !

5. Le paradoxe de la probabilité : les anniversaires

Dans une classe de 23 élèves, il y a environ 50% de chances que deux élèves aient le même anniversaire. Dans une classe de 30 élèves, cela monte à 70% ! Interrogés, la plupart d’entre nous donne plutôt une probabilité proche de 10%, donc très très sous-estimée !

6. Le paradoxe des chaussettes

Si tu as 10 chaussettes noires et 10 chaussettes blanches mélangées dans un tiroir, en tirant au hasard, tu as besoin de seulement 3 chaussettes pour être sûr d’avoir une paire de la même couleur.

7. Le paradoxe du grain de sable

Un seul grain de sable n’est pas un tas. Si tu ajoutes un seul grain de sable, ce n’est toujours pas un tas. Mais à force d’ajouter des grains, à un moment, cela devient un tas. Où est la limite ?

8. Le paradoxe de Simpson

Une tendance qui apparaît dans plusieurs groupes de données peut disparaître ou s’inverser lorsqu’on combine ces groupes. Exemple : une équipe de sport peut avoir un meilleur taux de réussite par saison, mais sembler moins bonne globalement.

9. Le paradoxe de l’hôtel infini (Hilbert)

Un hôtel a une infinité de chambres, toutes occupées. Pourtant, on peut toujours loger un nouvel invité en déplaçant chaque occupant dans la chambre suivante.

10. Le paradoxe de la moyenne

La plupart des gens ont plus de contacts ou d’amis que la moyenne, car les personnes avec plus d’amis augmentent la moyenne.

11. Le paradoxe des points alignés

Trois points suffisent pour former un triangle, mais si ces trois points sont alignés, il n’y a plus de triangle.

12. Le paradoxe de la division par zéro

On sait que diviser par zéro est interdit, mais si on essaye quand même, on peut “prouver” des choses absurdes, comme 1=2. 

Cryptarithmes

Un cryptarithme est une opération mathématique dans laquelle les chiffres ont été remplacés par des lettres, et vérifiant les règles suivantes :

  • un chiffre donné sera toujours remplacé par une même lettre ;
  • une lettre donnée représente toujours le même chiffre ;
  • aucun nombre ne peut commencer par un zéro ;

Un joli cryptarithme doit « signifier » quelque chose lorsqu’on l’écrit en lettres. Et idéalement, il n’a qu’une seule solution.

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Géométrie, géographie… les maths derrière les cartes

1. Le lien historique entre géométrie et géographie

  • Depuis l’Antiquité, la géométrie a été utilisée pour représenter et explorer le monde. Étymologiquement. Géo- : la Terre ; -métrie = la mesure ; -graphie = l’écriture
  • Les Égyptiens utilisaient des techniques géométriques pour tracer les limites des terres après les crues du Nil.
  • En Grèce, Ptomélée écrivit l’ouvrage « Géographie », synthèse des connaissances de son temps. Eratostène mesura le diamètre de la Terre grâce à des calculs sur des angles-internes.
  • Les Romains possédaient de solides connaissances en mesure de terrain, ce qui leur a permis de construire un réseau routier immense pour l’époque.

Pour aller plus loin :

2. Les instruments de géométrie anciens

  • Le groma, utilisé par les Romains, facilitait les tracés perpendiculaires lors de la construction de routes.
  • L’astrolabe servait à déterminer la position des étoiles et des planètes pour la navigation.
  • Le théodolite, un instrument utilisé depuis le XVIᵉ siècle, permet de mesurer les angles horizontaux et verticaux.
  • Ces outils témoignent du génie mathématique des civilisations anciennes et de leur besoin de précision.

3. Les instruments de géométrie modernes

  • Aujourd’hui, des outils numériques comme les GPS reposent sur des concepts géométriques avancés.
  • Les stations totales électroniques mesurent les distances et les angles avec une extrême précision.
  • Les drones cartographiques sont utilisés pour réaliser des relevés topographiques détaillés.
  • Les logiciels de modélisation 3D permettent de créer des représentations numériques fidèles des paysages.

Pour aller plus loin :

4. La projection de Mercator

  • Développée par Gerardus Mercator au XVIᵉ siècle, cette projection permet de représenter sur un plan la sphère terrestre (planisphère).
  • Elle conserve les angles, ce qui la rend utile pour la navigation maritime.
  • Cependant, elle ne conserve pas les surfaces : elle exagère celles proches des pôles comparées à celles proches de l’équateur. Voir ici des cartes pour comprendre.
  • La plupart des cartes aujourd’hui utilisent cette projection, centrée sur l’Europe, et influencent notre vision du monde.

Pour aller plus loin :

5. La projection de Gall–Peters

  • La projection de Gall–Peters est une réponse aux biais de la projection de Mercator.
  • Elle conserve les surfaces, offrant une vision plus équitable.
  • Cependant, elle déforme les angles, donc l’aspect des régions, étirant celles proches de l’équateur.
  • Cette carte est souvent utilisée dans un contexte éducatif pour sensibiliser à l’importance de la neutralité en cartographie.

Pour aller plus loin

Conclusion

La cartographie relie mathématiques et géographie. Elle a évolué au gré des avancées technologiques, et avec elle, notre vision du monde. Elle est révélatrice de notre manière de percevoir et d’organiser l’espace. La représentation d’une carte est autant une donnée scientifique que culturelle.