Culture

Présenter un exposé

Je donne à réaliser à mes élèves un exposé obligatoire chaque année (plus un facultatif supplémentaire) sur un thème mathématique de leur choix. Ils présentent seuls ou en binôme.

Lire la suite

Quelques paradoxes célèbres

Voici une liste de paradoxes mathématiques accessibles en 4e ou 3e. 

Pour un exposé à l’oral, je recommanderais de choisir entre trois et cinq paradoxes de cette liste à présenter. 

Cet article est une description rapide : il est évident qu’il faut faire des recherches supplémentaires sur les sujets choisis. 

Un paradoxe mathématiques n’est pas « quelque chose de contradictoire », comme on peut le définir dans la vie courante. C’est souvent un résultat qui est vrai mais étonnant car contraire à notre intuition naturelle. 

1. Le paradoxe de Zénon : Achille et la tortue

Achille donne une avance à une tortue dans une course. Chaque fois qu’il atteint la position où se trouvait la tortue, celle-ci avance un peu. Achille semble ne jamais pouvoir rattraper la tortue, mais en réalité, il le fait au bout d’un temps fini !

2. Le paradoxe de Lewis Caroll

Un paradoxe géométrique dans lequel un carré disparaît en réageançant 4 figures. 

3. Le paradoxe du menteur

“Cette phrase est fausse.” Si elle est vraie, alors elle est fausse, mais si elle est fausse, alors elle est vraie !

4. Le paradoxe de la corde

Si on enroule une corde autour de la Terre (40 000 km) et qu’on ajoute juste 1 mètre de longueur, il y aurait assez de “jeu” pour qu’on puisse lever la corde de 16 cm partout autour !

5. Le paradoxe de la probabilité : les anniversaires

Dans une classe de 23 élèves, il y a environ 50% de chances que deux élèves aient le même anniversaire. Dans une classe de 30 élèves, cela monte à 70% ! Interrogés, la plupart d’entre nous donne plutôt une probabilité proche de 10%, donc très très sous-estimée !

6. Le paradoxe des chaussettes

Si tu as 10 chaussettes noires et 10 chaussettes blanches mélangées dans un tiroir, en tirant au hasard, tu as besoin de seulement 3 chaussettes pour être sûr d’avoir une paire de la même couleur.

7. Le paradoxe du grain de sable

Un seul grain de sable n’est pas un tas. Si tu ajoutes un seul grain de sable, ce n’est toujours pas un tas. Mais à force d’ajouter des grains, à un moment, cela devient un tas. Où est la limite ?

8. Le paradoxe de Simpson

Une tendance qui apparaît dans plusieurs groupes de données peut disparaître ou s’inverser lorsqu’on combine ces groupes. Exemple : une équipe de sport peut avoir un meilleur taux de réussite par saison, mais sembler moins bonne globalement.

9. Le paradoxe de l’hôtel infini (Hilbert)

Un hôtel a une infinité de chambres, toutes occupées. Pourtant, on peut toujours loger un nouvel invité en déplaçant chaque occupant dans la chambre suivante.

10. Le paradoxe de la moyenne

La plupart des gens ont plus de contacts ou d’amis que la moyenne, car les personnes avec plus d’amis augmentent la moyenne.

11. Le paradoxe des points alignés

Trois points suffisent pour former un triangle, mais si ces trois points sont alignés, il n’y a plus de triangle.

12. Le paradoxe de la division par zéro

On sait que diviser par zéro est interdit, mais si on essaye quand même, on peut “prouver” des choses absurdes, comme 1=2. 

Géométrie, géographie… les maths derrière les cartes

1. Le lien historique entre géométrie et géographie

  • Depuis l’Antiquité, la géométrie a été utilisée pour représenter et explorer le monde. Étymologiquement. Géo- : la Terre ; -métrie = la mesure ; -graphie = l’écriture
  • Les Égyptiens utilisaient des techniques géométriques pour tracer les limites des terres après les crues du Nil.
  • En Grèce, Ptomélée écrivit l’ouvrage « Géographie », synthèse des connaissances de son temps. Eratostène mesura le diamètre de la Terre grâce à des calculs sur des angles-internes.
  • Les Romains possédaient de solides connaissances en mesure de terrain, ce qui leur a permis de construire un réseau routier immense pour l’époque.

Pour aller plus loin :

2. Les instruments de géométrie anciens

  • Le groma, utilisé par les Romains, facilitait les tracés perpendiculaires lors de la construction de routes.
  • L’astrolabe servait à déterminer la position des étoiles et des planètes pour la navigation.
  • Le théodolite, un instrument utilisé depuis le XVIᵉ siècle, permet de mesurer les angles horizontaux et verticaux.
  • Ces outils témoignent du génie mathématique des civilisations anciennes et de leur besoin de précision.

3. Les instruments de géométrie modernes

  • Aujourd’hui, des outils numériques comme les GPS reposent sur des concepts géométriques avancés.
  • Les stations totales électroniques mesurent les distances et les angles avec une extrême précision.
  • Les drones cartographiques sont utilisés pour réaliser des relevés topographiques détaillés.
  • Les logiciels de modélisation 3D permettent de créer des représentations numériques fidèles des paysages.

Pour aller plus loin :

4. La projection de Mercator

  • Développée par Gerardus Mercator au XVIᵉ siècle, cette projection permet de représenter sur un plan la sphère terrestre (planisphère).
  • Elle conserve les angles, ce qui la rend utile pour la navigation maritime.
  • Cependant, elle ne conserve pas les surfaces : elle exagère celles proches des pôles comparées à celles proches de l’équateur. Voir ici des cartes pour comprendre.
  • La plupart des cartes aujourd’hui utilisent cette projection, centrée sur l’Europe, et influencent notre vision du monde.

Pour aller plus loin :

5. La projection de Gall–Peters

  • La projection de Gall–Peters est une réponse aux biais de la projection de Mercator.
  • Elle conserve les surfaces, offrant une vision plus équitable.
  • Cependant, elle déforme les angles, donc l’aspect des régions, étirant celles proches de l’équateur.
  • Cette carte est souvent utilisée dans un contexte éducatif pour sensibiliser à l’importance de la neutralité en cartographie.

Pour aller plus loin

Conclusion

La cartographie relie mathématiques et géographie. Elle a évolué au gré des avancées technologiques, et avec elle, notre vision du monde. Elle est révélatrice de notre manière de percevoir et d’organiser l’espace. La représentation d’une carte est autant une donnée scientifique que culturelle.

Mathématiques et architecture

L’article suivant peut aider à faire un exposé. Il n’est pas complet et vous incite à aller voir plus loin.

Depuis l’Antiquité jusqu’à l’ère moderne, les mathématiques et l’architecture ont toujours été étroitement liées.

Des formes géométriques simples aux calculs complexes de résistance, les mathématiques sont partout dans les édifices qui nous entourent. Elles permettent de réaliser des structures stables, esthétiques et parfois même surprenantes, en jouant sur les symétries, les proportions et les motifs.

Qu’il s’agisse de temples anciens, de cathédrales, de bâtiments modernes ou d’espaces de vie écologiques. En comprenant l’influence des mathématiques dans les bâtiments, nous découvrons un langage universel qui relie l’ingéniosité humaine aux lois de la nature, tout en laissant place à la créativité.

LES FORMES DE BASE

Pavé droit : Le parallélépipède rectangle est la forme géométrique répandue dans l’architecture pour sa simplicité et sa stabilité. Avec sa base rectangulaire, il semble être une forme assez logique à adopter pour une grande quantité d’édifices : immeubles résidentiels, entrepôts, usines.

Cylindre : colonnes, silos, tour médiévale, château d’eau, yourtes, cheminées industrielle, … le cylindre offre une résistance élevée et une grande surface intérieure par rapport à leur volume. Il est à la fois esthétique et fonctionnel.

PYRAMIDES

Les bâtiments ayant le mieux résisté à l’épreuve du temps sont de forme pyramidale.

Les Égyptiens ont construit des pyramides aux bases carrées (ou rectangulaires) et faces triangulaires, comme à Gizeh, exploitant la stabilité de cette forme pour ériger des monuments gigantesques en pierre. Avant eux, les ziggurats, constructions de Mésopotamie, étaient des temples en terrasses formés de plateformes superposées.

Les pyramides mayas et aztèques, sont des pyramides à degrés et servaient de temples et de lieux de cérémonies. Construites en pierre, elles ont une base rectangulaire ou carrée et s’élèvent en terrasses superposées, culminant souvent en un temple au sommet. Leur structure symbolisait l’ascension spirituelle vers les dieux.

La raison de la longévité des pyramides est mathématique : les habitations avec des murs verticaux finissent par s’écrouler, mais pas les structures en pente.

LA GÉOMÉTRIE SACRÉE

Depuis l’Antiquité, la géométrie a joué un rôle fondamental dans la conception des bâtiments religieux. Les architectes, inspirés par des croyances profondes et une quête de perfection, ont utilisé les formes géométriques pour symboliser l’ordre cosmique, le divin et l’harmonie universelle.

Les cathédrales

Véritables chefs d’œuvres médiévaux, la construction des cathédrales a nécessité des connaissances poussées en géométrie.

L’arc brisé est le plus caractéristique, permettant des voûtes plus hautes et des baies plus grandes. L’arc en plein cintre, plus ancien, sert souvent de base. D’autres comme l’arc surbaissé, l’arc trilobé et l’arc en accolade apportent de la diversité et de la décoration. Ces arcs ne sont pas seulement esthétiques, ils jouent un rôle structurel crucial en répartissant les poids et en permettant une grande luminosité à l’intérieur des édifices.

Les rosaces sont de grandes fenêtres circulaires ornées de vitraux colorés qui apportent une luminosité exceptionnelle à l’intérieur de la cathédrale et symbolisent le soleil et le divin.

Les mosquées

L’interdiction de représenter des êtres vivants a fait que l’art islamique s’est tourné vers la géométrie pour créer des motifs symboliques. Ces motifs, souvent à base d’étoiles, de polygones et d’entrelacs, ornent mosquées, palais et objets quotidiens, reflétant l’harmonie et l’ordre divins. Ils constituent parmi les plus beaux pavages que l’humanité a pu produire.

Les stupas

Ces monuments en forme de dôme sont construits sur les reliques de Bouddha ou de grands maîtres. Leur forme et leur proportion sont basées sur des principes géométriques précis, symbolisant la montagne cosmique et le chemin vers l’éveil.

LES CONSTRUCTIONS AUTOPORTANTES

Les dômes géodésiques sont des structures sphériques constituées de triangles, conçues pour être légères et résistantes. Inventés par Buckminster Fuller, ils sont utilisés dans des situations variées : petites structures temporaires (dôme dans un festival, serre démontable), transportables (base scientifique isolée) ou géantes (la Géode, située dans le Parc de la Villette à Paris).

Les zomes sont des structures géométriques en forme de dôme, constituées de losanges assemblés en spirale. Inspirées des formes naturelles, elles sont parfois utilisées pour des constructions écologiques.

LES PONTS

Les ponts présentent une grande variété de formes géométriques, chacune offrant des avantages spécifiques.

DES ARCHITECTURES UNIQUES

Certains bâtiments modernes présentent des formes uniques au monde. Citons :

  • Le musée Guggenheim de Bilbao (Espagne) : une architecture audacieuse fondée sur les mathématiques
  • La Philharmonie de Paris (France) – Imaginée par Jean Nouvel, elle associe des motifs fractals et des angles non conventionnels.
  • La Cité des Arts et des Sciences (Valence, Espagne) – Ce complexe futuriste de Santiago Calatrava présente des formes ondulantes et organiques inspirées par la nature.
  • Le Centre Heydar Aliyev (Bakou, Azerbaïdjan) – Signé par Zaha Hadid, ce bâtiment fluide et ondulé casse les formes rectilignes traditionnelles.
  • La Maison dansante (Prague, République tchèque) – Créée par Frank Gehry et Vlado Milunić, cette structure donne l’impression d’un couple en mouvement.
  • La Tour Agbar (Barcelone, Espagne) – Une tour elliptique aux couleurs changeantes, conçue par Jean Nouvel.
  • L’Atomium (Bruxelles, Belgique) – Représentant une molécule de fer, cette structure sphérique est unique en son genre.
  • Le Cube Orange (Lyon, France) – Un bâtiment perforé de motifs géométriques qui donnent l’illusion d’un cube en trois dimensions

Réflexion sur l’IA et CryptoChallenge Ada Lovelace

Sorti en février 2022, sept mois avant ChatGPT 3.5, le CryptoChallenge Ada Lovelace se veut une introduction à l’histoire de la robotique, l’intelligence artificielle et ses conséquences sociales.

Voici le lien (caché) de l’épilogue ainsi que des documents pédagogiques pour aborder la question.

Télécharger au format odt
Télécharger au format pdf

Les questions pouvant être posées :

1) Donne l’exemple de films ou de livres traitant des relations humains-robots.
2) Quelles sont avancées récentes de l’intelligence artificielle que tu connais ?
3) Quels sont les bienfaits et dangers des avancées de la robotique et l’IA ?
4) Expliquer le dernier passage de la vidéo : « C’est oublier que l’humain a sur la machine une supériorité durable. Il est vivant, organique, fait de carbone et d’oxygène, infiniment renouvelable. La machine est faite de matériaux inertes, en quantité limitée. Et au fur et à mesure des années, les ressources naturelles s’amenuisent, tandis que d’immenses cimetières de déchets électroniques polluent aux quatre coins du monde. »

cm-histoire_IA_cryptochallenge

Mes liens « Histoire et culture des mathématiques »

Inspiré d’un travail mené au niveau académique. Liens valides en février 2023.

Associations et réseaux

Animaths : association de promotion des mathématiques via des ateliers, compétitions, clubs dans les collèges, lycées et universités https://www.animath.fr

APMEP : la célèbre Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public avec sa riche librairie (https://www.apmep.fr/Librairie) et son fil d’actualité (https://afdm.apmep.fr)

Maths en jeans : (https://www.mathenjeans.fr/) Association agréée par l’É.N. réalisant des actions de jumelage (https://www.mathenjeans.fr/vademecum_atelier/accueil) entre établissements scolaires, afin de mettre les jeunes en situation de recherche.

« Le coin boulot des profs de mathématiques ». Groupe sur Facebook très dynamique d’échanges, discussion et de partage de documents

Clubs de maths – la carte d’Eduscol https://eduscol.education.fr/1472/clubs-de-mathematiques

Veille scientifique

Images des maths du CNRS https://images.math.cnrs.fr

Des articles classés par difficulté, les pistes vertes seront les plus intéressantes pour les enseignants. Infolettre mensuelle.

« Culture Math » https://culturemath.ens.fr/ Publications à destination des enseignants du second degré, conçus et validés à l’ENS de Paris.

Interstices https://interstices.info/ Revue de culture scientifique en ligne par l’INRIA pour explorer les sciences du numérique

Lieux

L’Institut Henri Poincaré https://www.ihp.fr/fr et sa maison des maths https://maison-des-maths.paris/

La Cité des sciences et de l’industrie à la Villette, Paris (https://www.cite-sciences.fr/fr/accueil/)

La Maison des mathématiques et de l’informatique à Lyon https://www.mmi-lyon.fr

Évènements

Semaine des mathématiques (la semaine contenant le 14 mars, journée international du nombre π) : l’occasion d’organiser un évènement dans son établissement

Salon culture et jeux mathématiques https://salon-math.fr Salon annuel à Paris regroupant associations, éditeurs et passionnés

Concours durant l’année : Animath (Castor informatique, Algorea, Alkindi), Kangourou, Rallye Maths…

Vidéos

Arte – rubrique Sciences : https://www.arte.tv/fr/videos/sciences notamment le reportage « le grand mystère des mathématiques ».

Petits contes mathématiques (collège) : Une série qui parle des mathématiques et des hommes en racontant des histoires https://www.lumni.fr/programme/petits-contes-mathematiques

Micmath (collège, lycée) : https://www.youtube.com/@Micmaths Chaine de Mickaël Launay, vulgarisateur mathématique

Scientific’fiz (collège) : Chaine réalisée par Gilles Gourio avec des élèves de collège, traitant de thèmes mathématiques variés. https://www.youtube.com/@scienticfiz

Science Étonnante (lycée) : Vidéos pédagogiques scientifiques de David Louapre avec de nombreux thèmes mathématiques et informatiques. https://www.youtube.com/@ScienceEtonnante

Vidéo AuDiMATH (lycée et supérieur) : Ressources audiovisuelles de diffusion des mathématiques. https://audimath.math.cnrs.fr

Ressources en ligne

Site d’Arnaud Durand (« les Dudus ») – Rubrique « histoire des maths » https://mathix.org/linux/histoire-des-maths

Site d’Yvan Monka – Rubrique « histoire des maths » https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths

Apprendre en ligne (lycée) https://www.apprendre-en-ligne.net/index.php

Mathématiques expérimentales https://www.experiencingmaths.org

Animations (intervenants extérieurs)

Science Ouverte https://scienceouverte.fr Association pour ouvrir les jeunes et moins jeunes aux sciences, disposant de locaux dans le 93

Very Math Trip. https://www.verymathtrip.com/ Pièce de théâtre, truffé d’anecdotes qui embarque pour un voyage ludique et pédagogique. Manu Houdart, comédien belge, se déplace régulièrement en établissements scolaires en France.

L’ile logique https://ilelogique.fr Spectacle de clowns scientifiques : quand le théâtre et la science se rencontrent…

Math’Gic https://www.mathgic.com/?page_id=82 Création de professeurs de mathématiques de Gennevilliers dont les ateliers forment une trame inspirante pour des activités pédagogiques

Livres, BD et publications

La librairie des maths http://www.librairiedesmaths.com par les organisateurs du concours Kangourou

Infinimath https://infinimath.com/librairie/index.php : Diffuse notamment la revue Tangente https://www.tangente-mag.com/

Maths en liberté https://maths-en-liberte.fr Livres et BD par des experts en didactique

Les cercles de Titchener

Polycopié à compléter pour présenter l’illusion d’Ebbinghaus.

Instructions :

Colorie les 16 disques déjà tracés en bleu. Trace deux cercles, de rayon 1,2 cm, ayant pour centre les petites croix grises au milieu des agencements.
Colorie l’intérieur de ces deux cercles en rouge. Les disques rouges semblent-ils avoir le même diamètre ?

Télécharger le fichier au format pdf

Cercles_de_Titchener-x4